出典
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— 数学夏祭り@絶賛開催中🎆 (@mathmatsuri) 2020年9月4日
数学夏祭り 第5問は「解析」
問5は証明問題です。
解答の結果だけではなく、必ず過程も含めて全て画像で提出してください。
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については、区分求積法で求めることができる。この問題が問いているのは、区分求積法が収束するスピードである。
一般化
$$a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$
$$\alpha=\lim_{n\to\infty}a_n$$
としたときの
$$K=\lim_{n\to\infty}n(\alpha-a_n)$$
を求めよ。
ただしは級の関数である。
この問題では、$$f(x)=x^{79}$$とすればよい。
級とは微分可能であって、が連続関数ということである。はこの性質を満たしている。
解答
区分求積法により、以下のようになる。
$$\alpha=\int_{0}^{1}f(x)dx$$
結局以下のようになる。
$$n(\alpha-a_n)=n\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)dx-\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)$$
$$=n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right)dx$$
ここで、平均値の定理より、以下の等式を満たすが存在する:
$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)=\left(x-\frac{k}{n}\right)f'(c)$$
目標はを評価することである。ここでε-δ論法が出てくる。
は級であることから、は連続関数である。
よって、に対して連続の定義を適用する。
を任意に取って固定する。するとある正の実数が存在して、任意のに対して
$$|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f'(x)-f'(y)|\lt \varepsilon $$
となる。 *1
自然数を、となるほど十分大きいものとする。このとき、
$$f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\lt f'(c)\lt f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon$$
すると、
$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\gt\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)$$
$$\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)dx\gt\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)dx=-\frac{1}{2n^2}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)$$
$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\lt\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$
$$\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)dx\lt\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)dx=-\frac{1}{2n^2}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$
すると、
$$-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)\lt n(\alpha-a_n) \lt-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$
よって、
$$\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}$$
つまり、
$$\limsup_{n\to\infty}\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|\leq \frac{\varepsilon}{2}$$
は任意にとって良いため
$$\limsup_{n\to\infty}\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|=0$$
より、となるため、
$$\lim_{n\to\infty}n(\alpha-a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)$$
となる。ここで、右辺は区分求積法より
$$\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{f(0)-f(1)}{2}$$
となるため、結局
$$K=\frac{f(0)-f(1)}{2}$$
となる。(終)
この問題では、であるため、
$$K=\frac{0^{79}-1^{79}}{2}=\frac{-1}{2}$$
となる。よって最終的に提出するべき答えは
$$100$$
となる。
余談
京都大学理学研究科数学教室の院試の過去問(2020年度(令和2年度)の基礎科目問7)に似たような問題が出ていました。自分は院試対策としてその問題を解いていたため、今回の出題では素早く答えられました。しかし解答で不等号の向きを少し間違えてしまったため正解になるかは分かりません…
追記:入賞ライン早すぎでは????