一般化して考える2(数学夏祭り問5)

出典

{\alpha}については、区分求積法で求めることができる。この問題が問いているのは、区分求積法が収束するスピードである。

一般化

$$a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$

$$\alpha=\lim_{n\to\infty}a_n$$

としたときの

$$K=\lim_{n\to\infty}n(\alpha-a_n)$$

を求めよ。

ただし{f:[0,1]\to\mathbb{R}}{C^1}級の関数である。

この問題では、$$f(x)=x^{79}$$とすればよい。

 

{C^1}級とは微分可能であって、{f'(x)}が連続関数ということである。{f(x)=x^{79}}はこの性質を満たしている。

解答

区分求積法により、以下のようになる。

$$\alpha=\int_{0}^{1}f(x)dx$$

結局以下のようになる。

$$n(\alpha-a_n)=n\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)dx-\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right)$$

$$=n\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right)dx$$

 

ここで、平均値の定理より、以下の等式を満たす{c\in \left[x,\frac{k}{n}\right]}が存在する:

$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)=\left(x-\frac{k}{n}\right)f'(c)$$

目標は{f'(c)}を評価することである。ここでε-δ論法が出てくる。

 

{f(x)}{C^1}級であることから、{f'(x)}は連続関数である。

よって、{f'(x)}に対して連続の定義を適用する。

{\varepsilon\gt 0}を任意に取って固定する。するとある正の実数{\delta\gt 0}が存在して、任意の{x,y\in [0,1]}に対して

$$|x-y|\lt\delta\Rightarrow |f'(x)-f'(y)|\lt \varepsilon $$

となる。 *1

自然数{n}を、{\frac{1}{n}\lt\delta}となるほど十分大きいものとする。このとき、

$$f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\lt f'(c)\lt f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon$$

すると、

$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\gt\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)$$

$$\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)dx\gt\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)dx=-\frac{1}{2n^2}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right)$$

 

$$f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\lt\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$

$$\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)dx\lt\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(x-\frac{k}{n}\right)\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)dx=-\frac{1}{2n^2}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$

 

すると、

$$-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)\lt n(\alpha-a_n) \lt-\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}\left(f'\left(\frac{k}{n}\right)-\varepsilon\right)$$

よって、

$$\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}$$

 つまり、

$$\limsup_{n\to\infty}\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|\leq \frac{\varepsilon}{2}$$

{\varepsilon\gt 0}は任意にとって良いため

$$\limsup_{n\to\infty}\left|n(\alpha-a_n)+\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)\right|=0$$

 より、{\lim_{n\to\infty}(*)=0}となるため、

$$\lim_{n\to\infty}n(\alpha-a_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)$$

となる。ここで、右辺は区分求積法より

$$\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{2n}\sum_{k=1}^{n}f'\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{f(0)-f(1)}{2}$$

となるため、結局

$$K=\frac{f(0)-f(1)}{2}$$

となる。(終)

 

この問題では、{f(x)=x^{79}}であるため、

$$K=\frac{0^{79}-1^{79}}{2}=\frac{-1}{2}$$

となる。よって最終的に提出するべき答えは

$$100$$

となる。

余談

京都大学理学研究科数学教室の院試の過去問(2020年度(令和2年度)の基礎科目問7)に似たような問題が出ていました。自分は院試対策としてその問題を解いていたため、今回の出題では素早く答えられました。しかし解答で不等号の向きを少し間違えてしまったため正解になるかは分かりません…

追記:入賞ライン早すぎでは????

*1:補足説明:ここで適用しているのは厳密には「連続」ではなく「一様連続」である。連続と一様連続の違いはδがx,yに依存しているかどうかである。一様連続はδを定めたらx,yをどの様に決めても普遍的に成り立つものに対して、連続はδの値をx,yに応じて自由に変えてもよい。よって連続のほうは自由度が高いため、一様連続のほうが強い性質となる。しかし、[0,1]という有界区間上で定義された関数の場合、連続と一様連続は同値な性質となる。よってこの問題における状況では両者は同じものとみなしても構わない。