このブログについて

とりあえずブログ始めてみました。

自分は数学とプログラミングを趣味をしている大学生です。大学生じゃなくなっちゃった…

よってそれらのことについてまあ適当に何か書ければいいかなと思っています。

 

ーーーー

 

内容に何かあれば(例:感想/これは間違ってる/ここが分かりにくい/etc...)以下に連絡ください

twitter: @shakayami_

またはマシュマロでもOK

 

marshmallow-qa.com

コンデンサー

物理

コンデンサーがどうなっているかを言語化する

面積$S$ 並行な板が2枚ある．距離$d$だけ離れている．

 

このとき，電荷の分布を偏らせることができる．

 

回路全体の電荷の総和=0という制約条件のもとでは板1に電荷$+Q$，板2に電荷$-Q$が存在している

 

このとき，電荷に偏りがあると板の間に電位差を発生させることができる．

 

板1枚ごとに分解して観測すると分かりやすい．

 

電荷$Q$の物体から出る電束（＝電気力線の本数）は$Q/\varepsilon_0=4\pi k Q$である．このとき$k$はクーロンの法則の比例定数であり，$\varepsilon_0$は真空の誘電率である．

 

平面の板を覆うような薄い柱状の閉曲面を考えると，2つの底面には同じだけの電束があり，側面は薄いから無視できる．

よって，平面が十分広いと仮定すると，面の片方には$Q/(2\varepsilon_0)$，もう片方に$Q/(2\varepsilon_0)$の電束が出ている．

 

電場とは，面積あたりの電束の本数であるため，この場合面の法線の外側方向に$Q/(2S\varepsilon_0)$の一様な電場が出ている．

 

重要なことは，この電場は（十分近い距離の範囲内ならば）板からの距離によって減衰することはない．

 

板の広さに対して距離が離れすぎると横方向への電気力線の割合が無視できなくなるが，理想的な状態の場合，距離に対して平面が十分大きい場合は電場は減衰せず一様に存在する．

点電荷は距離の2乗に反比例して電場が減衰するが，無限に長い線状の電荷ならば距離の1乗に反比例しており，無限に広い面電荷なら距離の0乗に反比例している．

 

板が2枚ある場合，電場はそれぞれの場合の結果を重ね合わせれば良い

 

重ね合わせをした結果，板の間だけ$Q/S\varepsilon_0$の電場が発生するが，それらの外側はお互いの電場を打ち消し合って電場0となる．

 

電位は電場を距離で線積分したものなので，この並行板コンデンサーに働く電位差は$Qd/(S\varepsilon_0)$となる

 

$C=S\varepsilon_0/d$とすると，$C$はコンデンサーの静電容量となって，$Q=CV$となる．

 

コンデンサーの静電エネルギーについては，電位差0の状態から，電荷分布にこれだけの偏りを発生させるだけの仕事の量が答えとなる．

 

現在電荷が$+Q,-Q$であり，電位差が$Q/C$であるような状況を考える．このときに電荷を$+Q+\Delta Q,-Q-\Delta Q$とするのに必要な仕事を考える．

 

これは，$\Delta Q$の電荷を，電位差$Q/C$の間の分だけ移動するのにかかる仕事の量である．それは$Q\Delta Q/C$である．

 

電位差0の状態から，電位差$Q/C$のあいだまで動かすために必要な仕事は，$\int QdQ/C=Q^2/(2C)$である．

サブスクについて語る

数学関係ない記事

気づけば現代人は何かしらの月額課金に囲まれて生きている．動画配信，音楽，クラウドストレージ，家計簿，英語学習，そして最近では生成AIまで，サブスクは生活のあらゆる場所に入り込んできた．今回は，自分が契約しているもの，していないもの，そして解約したものをまとめつつ，それぞれに何を感じているかを書いてみる．

 

※この情報は記事公開日時点での話である

 

契約しているもの

Amazon Prime

最初はPrime Video目的で登録したが，配達が効率化するシステムの恩恵をより享受している．学割がめっちゃ効く

dアニメストア

これに契約するためにわざわざクレジットカード作った．（デビットカード不可だったはず）2019年くらいまではAmazon Primeとdアニメを兼任すればたいてい大丈夫だったが，独占配信という闇の勢力が出現したことにより，その見込は後に外れることとなる．

iCloud+

月額150円で50GBのストレージは強い．特にiPhoneで写真を保存しまくるとすぐに埋まるはず．ストレージはサービス側のリソースを消費するので，必要経費として割り切って課金しないとサービス終了のリスクがあって脆弱．最近450円のプランにした．

Readable

英語論文のpdfを自動で和訳してくれる．英弱ワイにはとても助かる．大学院のときに契約しておけばよかったなと後悔している．

YouTube Premium

さすがに広告がやばすぎたので渋々契約せざるを得ない状況に追い込まれた．バックグラウンド再生やYouTube MusicやPremium限定動画などの強みがあるので，広告目当て以外で契約するのはありかもしれない．あと学割が効く

ニコニコ動画プレミアム会員

生放送で追い出しされない，動画前の5秒広告がない，動画投稿するなら収益化できるなど．動画投稿者になるならニコ動プレミアムになるのはありかも？

NHK

とある番組を見るためだけに一時的に契約しようと思ったが，実は罠で解約するのがクッソ面倒であることに後で気づいた．NHK oneなどで番組を見放題のサブスクがある．

最近興味を持ったのは，「笑わない数学」という番組

kindle unlimited

本のサブスク．専門書はたいてい扱ってないが，専門外の入門書が気になった時に取り扱っている可能性が高い．幅広い分野の読書をしたいならオススメ

マネーフォワード

正直500円払って何しているのかあまり良くわかっていない．

ただ，惰性だけで金を払い続けている．それだけだ

discord nitro

あるサーバーのサーバーブースターをしている．サーバーブースターをすると，サーバーに対して貢献しているみたいな雰囲気を醸し出すことができる．あとは使用可能なスタンプの枠が増えるなど．

Spotify

音楽聴き放題サブスク．とはいいつつ無料でもある程度は使えるっぽいが．契約すると広告がなかったり，プレイリストの好きな順番から再生されるみたいな恩恵があった…気がする

心惹かれたのは，有料だとAPIが使えるので，好きな曲発表ドラゴン（プレイリスト作成）した後にpython等で分析することが可能

あと学割が効く．

ChatGPT plus

proに手を出せる勇気はない．とはいえ，有料版だと段違いで性能が上がるはず．

最近は投資のことなどについて質問している

月3000円も出すのはさすがに勇気いるよね

Google AI pro

googleアカウントのストレージが2TBになってエグい．

antigravityというバイブコーディングのツールが使えて，ちょっとしたアプリが作れる

deepresearchという調べ物ツールが使える．日頃の何気ない疑問を透過するとレポート形式で返ってくる．

deepresearchとantigravity目当てで契約している．

ただ月3000近く出すのは流石に勇気いるよね2

Claude Pro

ほぼClaude Codeというツールでバイブコーディングするのが目当て

antigravityよりはガチのエンジニアとかじゃないと使いこなすのは難しいと思う（高機能すぎて）実際自分もあまり使いこなせていない．

Proだとすぐ制限かかってその場合チャットも使えんくなる．ただmaxプランにする勇気は流石にない．

調子に乗ってOpus呼び出しまくると一瞬で制限かかる．SonnetまたはHaikuが正義（2026年3月時点での話です）

ただ月3000近く出すのは流石に勇気いるよね3

duolingo super

言語学習を続ける，いや，続けた気になるために契約．

特に英語は飛び級しないとまともなレベルにならないけど，飛び級のためには和文英訳などを間違わない必要があって難しい．

連続フリーズを使うのは甘えですよ

Minecraft Realms

マルチプレイのホストをするために

でもマイクラって序盤の開拓は楽しいけど続けるとマンネリ化してきてログイン率減っちゃうよね．マイクラのマンネリ化の打破について，どのような対策がなされているのかは気になるテーマ．

契約を（まだ）していないもの

netflix

世はまさにサブスク戦国時代！†独占配信†という武器を使いこなして契約を迫ってくるやべーやつというイメージが大きい．敵は月980だしそれくらい契約しろよと迫ってくるが，動画配信サブスクは何個も契約するものではないし，契約したとして可処分時間が足りないと使いこなすことができないことが目に見えている．睡眠時間を削ってまで動画見たいなアリかも？

X premium

未だに青バッジに関してなんとなく漂う胡散臭さから脱せていない．アナリティクスが使えたり，文字数制限がなかったりするのには魅力を感じる．今使っているXアカウントを収益化する未来があまり見えない．

hatena blog pro

ブログ収益化したら更新のモチベ湧くのかなあ，数学ブログの方も3年位放置して化石になっちまってるが

github copilot

コードレビューや，VSCodeでのコード補完など．学割がめっちゃ効くらしい．バイブコーディングのお供なのかなあ，しらんけど

漫画系のサブスクなど

欲しいものを買い切りでいいじゃんって思い至った

解約したもの

wolfram alpha pro

数式計算をしてくれるサイト．サブスクすると計算時間が伸びるなどの恩恵がある．ChatGPTのほうが高性能になってしまった．悲しいね

Geoguessr

契約するとゲームのプレイ可能時間が伸びるという恩恵があったが，単純にあまり使ってなかったから解約した．

Amazon Music

UIがすごく使いづらかったのと，「Amazon Music」で検索してもノイズ情報ばっかで調べづらかったから2021年にSpotifyに乗り換えた．

overleaf

latexを集団で編集する時に使えるサイト．契約するとlatexコンパイルの時間が伸びるという恩恵がある．修士論文に追い込まれていたときに一時的に契約した．ただもうあまりバリバリtexを書きまくるフェーズではなくなってしまった．

まとめ

サブスクというのは，月数百円で生活の質を上げるよ！と喧伝しているが，実態は月の固定費をじわじわと上げ続けて地味に家計を圧迫しつづけている．

敵は「月数百円くらいなんだから契約しろよ」と気軽にいうが，その月数百円は積み上がるほどボディーブローのように効いてくるのだ．

収益化対象になったり，生産性を上げるための効率化ツールは（ペイできれば）たくさん契約する価値はあるかもしれないが，コンテンツ消費系などのツールは可処分時間との戦いとなる．値段よりも，実際に使っているかという観点で評価するのは大事かもしれない．

なぜ生きる？　まとめ

多くなってきたからまとめる

随時更新予定

 

始祖

tips

 

国語

映像

 

youtu.be

 

 

youtu.be

イラスト

脚注：↑はshakayamiが描いたわけではありません

 

 

アプリ

shakayami.github.io

 

shakayami.github.io

 

 

言葉遊び

 

 

 

メタい

 

Tシャツ

脚注：2024年のNFの際に，京大作問サークルのほうで「なぜ生きる？Tシャツ」を作ったみたい（非売品）

 

 

 

答え

自己言及

k=19946101383156294727094073054730537230708157272406934447304670928670930058070556704195515424107134263196568965136423285278743749510918950766973511937258257016836539326091987778037913178090108241391134564265464184213565448214793947691921696009990481600857051679638518036610904146043989596917258188691317076750601705749020216486253518486092283809283079268249120664175226419589883041174165316506429400238848815771867231539625977670130854832853021419357711171942293359148655851359948475461495980818432

 

第26回近畿大学数学コンテスト2024

成功シリーズ 自分語り

はじめに

参加は今回で4回目

2018,2019,2023,2024

 

タイムライン

11月2日に○○から京都に向かう

作問サークルに久しぶりに物理的実体　バーチャルではないリアルの存在として参加

方圓美味で夕食

22時　京阪で大阪に向かう

23時　布施駅付近の快活クラブで泊

 

11月3日

7時くらいに目覚める

会場は目と鼻の先なのでのんびりしてたら

結局ぎりぎりになっても歌

 

10時コンテスト開始

今年は最優秀賞を捨ててでも表彰ラインに確実に転がり込むことを目標に

字を丁寧に書く

字を丁寧に書く

字を丁寧に書く

A1を見る，おっこれ有限体の理論使えば解けるやんけ（去年のNF杯のときにいろいろ考察しておいてよかった～～）

すぐに書き終わる


10時15分ごろ（時計を見てないから何となく）

A2を見る．なんかよくわからんけどFPSを使えば計算できるやろ

（ゴリゴリ計算）画像

「なんやかんや」がものすごく時間かかった！！

f(x)はそもそも答えを覚えてた．ただ，本質としてはf(x)の導出過程において一般化二項定理が出てくることが重要で，その導出方法を他に応用できるかがカギだった．g(x)はbinomial(2n,n)/2=binom(2n-1,n-1)なので案外簡単

問題はh(x)であり，

$$\binom{2n+2}{n}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}\binom{2n+1}{n}$$

であるので，g(x)を微分したり積分したりと求められる．ここの計算が重かったが何とか完遂，計算は丁寧にやろうね

 

するとA_n=B_nになったのでびっくりした．母関数が求まった後どうするかは見通しを立てぬままやったが，係数はすぐわかった．

画像

検算しようと思ったが，計算が面倒くさすぎてA_0=B_0=1のみ確かめた

11時頃とりあえず2完して最後にどれを解くかを見極める

A3→見た目からヤバそう無理

A4→自分が苦手なタイプなので無理

B2→見た目から不可能　地雷臭エグイ

なので，残ったのはA5とB1

B1→線形だからなんやかんやするんだろうな　問題作成者は一般化二項定理好きなのかな

A5→問題文が長文なのと図が意味不明なので一瞬ためらったけどよく読んでみると

8列の表は複雑な条件を暗示しているように見えたが，実際はa_j←a_{j-1} xor a_jでありシンプルに書ける

何行か繰り返すと二項定理の構造が見えるだろうと察する

二項係数の偶奇の問題にたどり着く

解けそう

というわけで答案を書く

書き終わる

12時くらい

この時点で表彰されることは半分確信

やることなくなった

暇だ

とりあえず持ってきた昼食のコンビニおにぎりを食べる

暇だ

とりあえず番外編を見てシェルピンスキーのギャスケットをお絵かきして飴玉を5個もらう

暇だ

...よく考えたらA5って畳み込みみたいな見た目しているな

競プロでいうNTT（数論変換）みたいなことできないかなと考える

F_2の代数閉包を考えたとき，$x^{2^n}-1$は分離多項式ではないし，よく考えたら$x^{2^n}-1=(x+1)^{2^n}$だから重解まみれになるじゃん

でも，よく考えたらF_2に1の原始2^n乗根を添加した体環を考えればいいじゃん

つまりF_2[x]/(x^{2^n}-1)

この剰余環の要素は$a_0+a_1x+\cdots+a_{2^{n}-1}x^{2^n-1}+(x^{2^n}-1)$

と書けるが，一列下に入るのは(1+x)倍することに対応

この環では(1+x)は冪零元なので，2^n回(1+x)をかけたら0になりますよねという話だったわ

ということでA-5の別解を書き終える



暇だ

今度こそやることなくなる

学祭見に行く

おにぎり食べたから食欲無い

戻る

こっそり持ってきたPRML上巻を読書

飽きる

なんとなくB1を考える

一般化二項定理になるから

$$f \left(\dfrac{x}{(1+(m - 1)x^{m - 1})^{\frac{1}{m - 1}}}\right)$$

みたいな感じになりそうだけど細部を詰めるの大変だと思う

A1で$a_n=\alpha^n+\beta^n$ということを使ったが，$\alpha=\beta$のときの証明が走ってないような気がしたから裏側に追記する．そのほかA1の細部を追記する

 

ほかの問題は見た目から無理だったのでやることなくなる

クネクネしてたら15時になる

A1，A2，A5を提出

 

学祭を見て回る

人と話す

久しぶりに見た知っている顔が多い

twitterを見ながら解説を聞く

賞をとれなかったらどうしようとドキドキをする

 

16時解説を聞く

A2：答えが合っていて安堵，経路の数え上げに落とし込んだ解法を見てすげえって思った

というか過去にこのようなツイートをしてたのに4jじゃなかったらごり押しでうまくいってしまったんだな

 

 

B1：思ったような解法だが，mが負の整数の時やxの絶対値が1より大か小かなどで無限に場合分けが発生するため，思ったより細かく詰めるのは大変そうだと思った

B2：影が四角形の時はなんとかなりそうだけど六角形の時はどうするのって思った．証明の細部を詰めるのはかなり大変そう．OMCならエスパーして提出してるわ

立方体の断面積の最大値 - ぷりんの雑記帳  を過去に読んだ気がするけどまったくわからんかったわ～みたいなことを思う

 

 

17時

表彰される

あいうえお順

優秀賞

ガッツポーズ

写真を撮ってツイート

表彰者が見慣れた人ばっかでウケる

Lim_Rim_とラーメンを食べる

○○に帰る

感想

賞を確実にとるという戦略で臨んだ結果今回はうまくいった

  • 字をきれいに書く
  • 下書きをしない
  • シャープペンシルで書く（ボールペンだと間違ったやつを消そうとしたときに世紀末になるから）
  • 字をきれいに書く
  • 簡単目の問題を確実に解いて得点を稼ぐ
  • 難しい問題は捨てる
  • 近畿大学に来ていることを事前にツイートしない（物欲センサーが働くから）
  • 字をきれいに書く
  • 字をきれいに書く

みたいな感じ

確かに賞は取れたが反省点も多い

もっと完全燃焼するべきだった気もする

問題を解き終えて暇になることがまずおかしい

その暇というのも全部解き終えたからじゃなくて既定の三問解いただけというのもたちが悪い

例えばA3についてもっと深く考えるべきだったかもしれない

実際，最優秀賞の二人は自分にとって手足も出なかったA3を解いている

表彰自体は狙った結果最終的にうまくいって取れたが，コンテストはやっぱり難しい問題に5時間粘着したりチームでワイワイ楽しんで解くというのも美しい在り方の一つだと思った．表彰された人だけがコンテストじゃないですね

 

おまけ

 

せっかくなので，今までに出て苦い思いのまま終わった2018,2019,2023のことを思い出しながら書く

2018

 

記憶から消えてたけどメモが残ってた．解いたのはA-3とB-1とB-2(重量級)

 

もし全部あってたら85pt

A-3→真ん中はベータ関数だけどメモによるとコーシーシュワルツの不等式（積分版）で頑張ってそうだった

B-2→エスパーするのは容易だけど厳密に示すの大変そ～～

B-1→当時見たツイートを何とか再現しようと試行錯誤してたかも

↑のツイートです

 

2019

記憶が消えた

A-1にずっと格闘してできなかったけど初歩的な計算ミスが原因だった

A-6 はなんかいろいろガチャガチャやってた気がする

B-1をやった気がするけどこれもエスパーの難易度に比べて厳密な証明が大変そうなやつ

当時のツイート

 

2020

ころな

2021

オンラインだったらしいけど気づいたら終わってた

2022

精神的に病んでたから参加できなかった

2023

twitterでつながった高校の後輩とチームを組んで出た．

OMCのTシャツを着てたから放出駅らへんで既に話しかけられた

他の問題を後輩氏に任せて（丸投げして）自分はずっと問題4に粘着してた

 

曲がりなりにも確率論専攻だったので解けたつもりでいたけど字が汚かったのかもしれませんね...

 

問題としては答えがsin(2)だとエスパーするのは簡単だがそれを厳密に示すのは難しいという感じだった．

後に最優秀賞者と敢闘賞者に何を解いたか聞いた．そして「難しい問題に粘着するよりかは簡単な問題でも確実に解き切ったほうがいい」という戦略を発見して，来年に生かすことを決めた

このコンテストルール上，チームを組むと表彰ラインに転がり込むための難易度は極限まで跳ね上がるが，コンテストを楽しむという面ではチームで出場するというやり方もあり

余談→Lim_Rim_と翌日に阪大の学園祭にハシゴして阪大作問サークルの視察に行ったのはいい思い出だ

chatGPT o1 mini vs shakayami

追記(2025/06/14)

誤解されそうだったのでタイトルを変えた

ChatGPT o1→ChatGPT o1 mini

以降の記事は2024年9月の記録です．

前回

shakayami.hatenablog.com

前回から1年以上経ったのでそろそろ情報を更新したい．4oにはあまり魅力を感じなかったが，先日出たo1をいろいろ試したのでそれの報告をする．

 

AIを日頃から試している諸君なら知っていると思うが，生成AIは既出問題にやたら特化しているという特徴がある．そのためすでに有名になって学習用データに組み込まれているであろう大学の入試問題や数学オリンピックの問題で試すと能力値が高く出やすくなるので注意が必要である．そのため，数値設定を若干変えて試したりするとよいだろう．まあこの記事で検証する問題はネットにすでに出しているので学習データに含まれているかもしれないが入試問題と比べて有名ではないので過学習は起こってないかも？知らんけど

 

前回記事の再試験

前回の段階でできていたものは省く

とはいいつつ，計算するだけはWolfram Alphaに丸投げしたほうがいい感じのところはある．

2019年作問サークル部誌より：en!の極限

以下の極限を求めてください
lim[n to infty] cos^(n^2)(2πe n!)

 

結果：正解

o1の情報を聞いて最初に試したのはこれだがちゃんとできたのでびっくりしてしまった．4oとの格の違いを見せつけられた．

 

2021部誌より：行列式の期待値

nを正の整数として、n次正方行列Aを各成分が独立な標準正規分布に従うものとする。det (A^2)の期待値を求めよ。

 

結果：正解

...と言いたいところだが，議論が雑なのでもっと深堀りする

結果：今度こそ正解

はい．想定解ですね

2021部誌より：スターリング数の総和

①f(x,y)=sum[n=0 to infinity]sum[k=0 to n] stirling_s1(n,k)*x^k*y^(n-k)/n!
②f(x,y)=sum[n=0 to infinity]sum[k=0 to n] stirling_s2(n,k)*x^k*y^(n-k)/n!

 

結果：不正解

2.の二重和の変形のところが違う．x^kではなく(x/y)^kではないだろうか

あと1.も手元の結果と確かめると気になった．これは第一種スターリング数の定義が別の流儀（？）のものかもしれない．手元ではx(x-1)...(x-n+1)=sum_{k=0}^{n} s1(n,k) x^kとしていたが，Wolframではそれに(-1)^(n+k)を掛けていた．これは異なる流儀があるのだろうか？それにここらへんwikiをみてもあんまり良くわかんなかった．（まあどっちの流儀でも難易度に変わりはないはず）

その後も2回ほど再生成をしたが，うまくいかなかった．

 

次

 

結果：不正解

これもtに代入するべきなのはyではない．再生成を試してみる．

結果：正解

こっちは再生成したらうまくいった．

2021部誌：中央値の領域

三角形ABCは鋭角三角形で 面積S、外接円の半径R、内接円の半径rとする

このとき平面上の点Pであって、{AP,BP,CP}の中央値がR以下であるような領域を図示してその面積を求めよ

以下の値を用いてもよい
AB=c,BC=a,CA=b,∠A=α,∠B=β,∠C=γ

 

結果：正解

英語やめてくれ...わからんので

だが少なくとも答えはあっている

OMC057(A)

前回時点でも正解していたが力技だったので再試験

Σ_{n=1}^{1000} (n mod 7)*(n mod 11)*(n mod 13)はいくつ？できれば導出過程も

結果：正解

ちゃんと想定解

OMC057(D)

面積がsqrt(31031)，外接円の半径が2160/sqrt(31031)，内接円の半径がsqrt(1001/31)であるような三角形の各辺の長さを求めてください

結果：正解

前回は何回かのやり取りが必要でその上でも怪しかったが今回は一発クリア

 

2021twitter投下：サイコロの極限

1からn^2までの目が等確率で出るサイコロをn回投げてでた目がすべて異なっている確率をp_nとする．p_nのn→∞の極限を求めよ．

結果：正解

 

2021新歓ビラ問題：gcd極限

以下の極限を求めてください

lim_{n to infty} \dfrac{1}{n^3}\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{n}\sum_{c=1}^{n} gcd(a,b,c)

結果：正解

これ正解なのヤバイな

OMC057(F)：キメラってるやつ

以下で定まるXについて，「2で割り切れる最大回数」を素数2017で割った余りを求めてください
X=\prod_{N=1}^{2^{2021}-1} \sum_{\sigma \in S_N} \prod_{\tau\subset \sigma} 3^{\inv{\tau}}

記号の意味は以下のとおりです
・正の整数Nについて，S_Nは1からNまでがちょうど1つずつ現れる数列N!個全体の集合である．
・\tau \subset \sigma の総積とは，\tauが\sigmaの連続するとは限らない部分列2^N個すべてを走るときの総積である．
・\inv{\tau}は数列\tauの転倒数である．ここで，a_1,\ldots,a_nの転倒数とは，i<jかつa_i>a_jとなるような(i,j)の組の個数である．ここで，空列の転倒数は0とする．

結果：不正解

「さらに、 が奇数のとき」以降が怪しい．

その後3回ほど再生成を試したが，いい感じの結果になりつつも正解には至らず...

新問題

NF杯2023(N)

前回時点では世に出ていない問題なので今回が初

 

pを素数2017とする．整数x,yに対して以下のようにしてf(x,y)を定義する
・a_0=0,a_1=1,a_{n+2}=xa_{n+1}+ya_nという漸化式で表せられる数列のmod pにおける周期をf(x,y)とする
このとき，sum_{x=0}^{p-1} sum_{y=1}^{p-1} f(x,y)を求めてください

結果：不正解

Understanding the Sequenceまでは良さそう

その後2回ほど再生成を試したが判別式による3通りの場合分け以降が合わず...

KUPC2021(H)

そういえば前回も試してなかった．

atcoder.jp

結果：不正解
そもそもサンプルすらあってない

なお，これでChatGPT o1 previewの回数制限に引っかかってこれ以上は9月22日まで試せず...

余談

たまに言語がおかしくなる

今年からAIの勉強を始めていて，transformerの仕組みは現在勉強中だが，コンピュータ上では単語（トークン）をベクトルとして扱っているため別言語の類似ベクトル（cos類似度が大きいもの）が出てくるのかもしれないと思った．

数学の分野に関しては複数の言語からのデータを統合しているのかもしれない．知らんけど

最後に

1年間での成長がエグい　来年にはAtCoderのレートを抜かれても不思議じゃないかも

また，LLMのモデルの大きさの物量で殴るというやり方は計算リソースの大きさの割に既存の問題しか対応できないのでは？とずっと考えていたので個人的に好きじゃなかったが，今回の推論を重ねるという方針は面白いと思った．Wolfram Alphaと組み合わせるともっと強くなるかも

なぜ近似する？【化学編】

文脈

 

 

導入

自分語りをします

高校化学でこんな問題ってありますよね

 

0.070mol/Lの酢酸のpHを求めよ

ただし酢酸の電離定数は2.8×10^(-5) mol/L

 

あるあるですね

で，これの解法はこんな感じです

 

濃度c=0.070[mol/L]

電離定数K_a=2.8×10^(-5)[mol/L]

 

電離度をαとおくと，

[CH3COO-]=cα

[H+]=cα

[CH3COOH]=c(1-α)

K_a=[CH3COO-][H+]/[CH3COOH]=cα^2/(1-α)

 

ここで，α<<1なので1-α≒1（？？？？？？）

K_a=cα^2

α=sqrt(K_a/c)=sqrt(0.00040)=0.020

[H+]=cα=1.4×10^(-4)[mol/L]

なのでpHは-log10(1.4×10^(-4))≒3.85...

 

まあ若干適当な気はしますがだいたいこんな感じだと思います

 

実をいうと，高校時代から，ずっとこれが気持ち悪いと思っていました．

なぜかと言うと，1-α≒1という近似にずっと納得ができなかったからです．

（脳みそが数学科だと近似を気持ち悪く感じがちになると思います）

 

ですが，7年くらい経って考え直すと，これは気持ち悪くないと思い至るようになりました．

そのように思い至った理由をこの記事で書きます．

 

化学は専門外なので間違ってたらごめん

 

近似しない場合

実は上記の例ならば近似しなくても求めることができます．

K_a/c=yとします．このときyは無次元量です

$y=\dfrac{\alpha^2}{1-\alpha}$という方程式を解けばよいです．

（高校化学においては，$1-\alpha$を1だと言い張っているので$\alpha=\sqrt{y}$です．）

実はこれは整理すると二次方程式になるので，

$$\alpha=\dfrac{\sqrt{y(y+4)}-y}{2}$$

になります．

近似した場合としていない場合の比は

$$\dfrac{\sqrt{y(y+4)}-y}{2\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}{2}$$

現実世界においては，濃度が十分大きい状態を考えています．具体的には2.8×10^(-5)mol/Lより十分濃い酢酸について考えているので，$y$が十分0に近いとしています．

そこで$y\to 0$の極限を取ると

$$\lim_{y\to 0}\dfrac{\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}{2}=1$$

ですが，$y$が0に近い場合の漸近展開を考えると

$$\dfrac{\sqrt{y+4}-\sqrt{y}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{y}}{2}+\dfrac{y}{8}+O(y^2)$$

となります．

上記の例c=0.07 mol/L,y=4.0×10^(-4)だと，誤差のオーダーは$10^{-2}$程度となります．

つまり，近似したときとしてないときで相対誤差は$\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{K_a}{c}}$くらいになるはずです

つまり，$\sqrt{\dfrac{K_a}{c}}$が十分0に近い場合に1-α≒1という近似が正当性を持つことになります．

なぜ近似が正当なのか

近似したほうが計算が明らかに楽になるため，近似できるならしたほうがいいでしょう．では，なぜこの近似が正当性を持つのでしょうか？

これにはいくつかの理由が考えられます．列挙

  1. パラメータの精度
  2. 方程式そのものの精度

それぞれについて説明します

パラメータの精度

冒頭の例を見ましょう

0.070mol/Lの酢酸のpHを求めよ

ただし酢酸の電離定数は2.8×10^(-5) mol/L

解答では若干ごまかして書いてますが，有効数字という概念を気にするべきです．酢酸の濃度は，酢酸の電離定数は，厳密にこの値になるのでしょうか？濃度などの物理量を完璧な精度で測定することはできません．なのでこの値には一定の誤差が含まれていると考えるべきです．

パラメータそのものに誤差が含まれている以上，どのように計算過程の厳密化を行ったとしても，最終的な計算結果にはパラメータ由来の誤差が含まれてしまいます．

そのため，頑張って近似の回避をして厳密な計算を行っても，その厳密化で得られる精度が有効数字の精度よりも細かい場合，その頑張った厳密計算には意味がなくなります．

そのため，パラメータ由来の誤差の範囲に収まるような近似は正当であると考えるべきです．

方程式そのものの精度

この記事では，何の疑いもなくK_a=[CH3COO-][H+]/[CH3COOH]のような方程式をまるで厳密に成り立っているかのように書きました．果たして本当にそうでしょうか？

本当に[CH3COO-][H+]/[CH3COOH]という物理量は，定数になるのでしょうか？もし仮に定数になるとしたら，なぜそうなることが言えるのでしょうか？

物理法則というものは本質的に近似であるという発想が重要だと考えました．

そして，その物理法則が成り立っていることがなぜ保証されるのかと言うと，実験したときにそれっぽい結果が得られたからです．手元に教科書がないので確認できないですが，化学平衡の式は実験的法則と教科書に書いてあるらしいです（伝聞）

補足

https://www.jstage.jst.go.jp/article/kakyoshi/46/11/46_KJ00003520626/_pdf

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssej/45/3/45_364/_pdf

ググったらこれがでてきましたとだけ言っておきます

補足終わり

 

とりあえず何が主張したいのかと言うと，方程式が世界を表現する精度が完璧であることは保証されていないのではないか？ということです

つまり，方程式そのものが何かしらの近似を用いているため，それも誤差が発生する要因となります．

この記事の例で説明すると，1-α≒1の近似を避けたことによって厳密な計算ができたつもりになっていますが，それは違うのではないかということです．

あ

結局全てに関して近似を使っているため，計算の過程の１つを厳密化した程度では意味がないことになります．

実用上では，近似したことによって誤差がどれくらいのオーダーで発生したのかを見積もることが重要です．

例えば，$\sqrt{\dfrac{K_a}{c}}$が無視できるほど小さい値ではない場合（濃度cが十分小さい場合or K_aが大きい場合），1-α≒1という近似が使えなくなり，前述の近似を用いない解法に意味が生まれます．

強酸の場合は$K_a$が大きいので$\sqrt{\dfrac{K_a}{c}}$が小さくない場合に該当します．

$\alpha=\dfrac{\sqrt{y(y+4)}-y}{2}$に対して，$y\to\infty$の極限を取ると$\alpha\to 1$になるので，強酸の場合はα≒1という近似が出現します

ケースに応じて適切な近似をうまく選ぶことが求められます．

余談

濃度c_a[mol/L]の酸V_a[L]と濃度c_b[mol/L]の塩基V_b[L]を混ぜたときのpHを近似せずに計算しましょう．とは言っても解離定数などの法則そのものが近似であるというツッコミは一旦置いておきましょう．

HA⇄H^+ + A^-

BOH⇄B^+ + OH^-

このとき6つの未知数があります

[H+],[OH-],[A-],[B+],[HA],[BOH]

 

成り立つべき制約条件は6つあります

K_w=[H+][OH-]（水の電離平衡）

[H+][A-]=K_a[HA]（酸の電離平衡）

[B+][OH-]=K_b[BOH]（塩基の電離平衡）

[HA]+[A-]=c_aV_a/(V_a+V_b)（Aの量の保存）

[BOH]+[B+]=c_bV_b/(V_a+V_b)（Bの量の保存）

[H+]+[B+]=[A-]+[OH-] （電気的中性）

 

これらを整理して解くと,[H+]に関する四次方程式が得られます．

この式は電離平衡などの前提条件が成り立つならば弱酸/強酸,弱塩基/強塩基に関わらず成り立ちます

ですが，人力で四次方程式を解くのは無理なので，実用上では状況設定に応じて適切な近似条件を考えて解くことになります．

ちなみに四次方程式を解くプログラムを実装して図示したらこんなかんじの曲線が理論的に得られました．横軸が塩基の濃度，縦軸がpHです．

 

大学院修士課程の「3」年間を振り返る

自分語り 成功シリーズ 失敗シリーズ

修士課程ってふつう2年間じゃなかった？

君のような勘のいいガキは嫌いだよ

 

すべて終わったらこれを書こうと思ってたので書く

 

何があったか3行で書きます

修士課程に進学！

しかしメンタルを病んでしまった結果、修了が1年伸びました。

卒業後はD進せずに就職します。

 

2021年4月 M1～

この頃は指導教員と1対1のゼミをしていた。当時の肌感覚では（就職とD進どっちがいいかな～）みたいな感じだった。毎週のように論理のガバを指摘されてゼミが炎上する日々を送る。

炎上を繰り返す中で少しずつ精神をすり減らしていき、そのせいで予習もままならないみたいな悪循環を繰り返す。M1の終わりの時点での進度はとてもD進できるようなものではない状況だった。しかし就活は何もしてません。*1

とりあえず就活に軌道修正することにしたのですが、精神的に参っていたので、この時点でもう一年延期するつもりでいました。そして何もかもを放棄して１日中寝込んでました。

2022年4月 M2～

この頃は何もかも情熱を失っていた。研究が楽しくないだけならいいけど、趣味としての数学も楽しくなかった。サークル*2にも足を運べなくなり、競技プログラミングにもOMCにもやる気が出ないというような状況だった。

 

今だから言うけどこれを質問したの僕です

 

ただ、義務のようにゼミをこなして炎上を繰り返す無限ループをただただこなすだけのマシーンでした。

就活も義務のようにやってました。インターンに落ちたりインターンに落ちたりインターンに落ちたりした。研究と就活の二重のプレッシャーはとてもしんどいです。

指導教員の言われるままに過ごした結果、2023年の1月（修士論文提出期限より後）のときに指導教員が言うには主結果のようなものが出来上がったらしいです。指導教員から来年前期の半期休学を勧められたので、M3の前期は休学することにしました。

就活 2023年1月～2023年3月

1月にとある会社にエントリーしました。それまでは数ある会社のうちの一つだと思っていたのですが、説明会を聞いてなにか来るものがありました。そのあといろいろな選考作業を得て確信に至り、3月に内定をもらいました。その会社に入社予定です。

内定をもらってからはかなり心が楽になりました。ちなみに自己紹介で「趣味は競技プログラミングです（まあ最近全くやってないけどな！）」と言ったときにレートを褒められた経験は初めてでした。その結果競プロを再開するモチベが湧きました。2023年あたりで一時的に競技プログラミングを再開していろいろやってました。

オンサイト（Toyota Programming Contest 2023 Spring Final）にも行きました。これについては予選を通過できたのは奇跡です（予選の時期が再開したばっかのときだったので）

休学　2023年4月～2023年9月

何をしていたのかと言うと、完全に研究のことをシャットアウトして人生をしていました。

サークルに積極的に足を運びました。OMCのコンテストにも復帰するようになりました。研究活動に関しては何もやっていないような状況でしたが、「以前感じたような数学の楽しさを思い出す」ことはできたと思います。

趣味で物理や化学の勉強にも手を出しました。楽しかったですが研究は何もやってません。

ただ、研究のことを何もやっていないことに対する焦燥感は頭の片隅でずっとありました。

復学～修論提出　2023年10月～2024年2月

復学したときに「あなたはもう修論を書くだけなんだからさっさと書いて卒業してください」と指導教員に言われました。研究に関する負の思い出が蘇ってしんどかったですが、一方で趣味に対する情熱は戻っていたので比較的耐えられました。なんとか重い体を動かして書き切りました。ただ執筆期間中は四六時中発狂してました。

これを書いている時点では確定ではないけど、一応

なぜD進しないことにしたのか

修士課程に進学した場合、将来は大まかに2通りあります。
①D進、つまり博士後期課程に進学　雑な説明をすると研究者の道を志すという感じです
②一般企業に就職　就職する際にも専攻分野を生かした企業に就職できる場合があるし、全く関係ない企業を選んでも構わない
自分は①と②のどちらにするかを決めるのはとても苦心しました。どちらも自分には厳しいと思ったからです。
①を目指すなら研究を今以上に頑張る必要があります。現状研究はあまりうまくいってない＋研究活動（分野）に対してモチベが全くわかないというような状況であり、さらに周りの小中高大の同期の人々が立派に働いているのをSNSで眺める中、親に経済的負担をかけている状況が精神的に耐えられず、それがプレッシャーになって押しつぶされていました。（注：博士後期課程に進学した場合、給料をもらえるどころかむしろ逆で、自分（の親）が学費を払う必要があります。また、優秀な場合は学振によってお金が貰える場合があります。）
結局、金を払ってしんどい思いをするのと、金をもらってしんどい思いをするのだったら、（片方の「しんどさ」がよほど天元突破しない限り）金をもらうほうがまだマシだと思ったため、②の就職に軌道修正をしました。そのことを決めた時点では23卒での就職はほぼ手遅れでした。

 

ネットにはこのような書き込みもあります。

 

引用出典

saize-lw.hatenablog.com

 

自分はまだ社会人としての経験がないので真偽はわからないのですが、大学院から就職したFF2名もこれに同意していました。

プロセカ

大学院生活では、プロセカ（プロジェクトセカイ　カラフルステージ　feat. 初音ミク）にはまっていました。プロセカは大学院生活の心の癒やしでした。研究活動がとてもしんどかったけど、自分も宵崎奏が作った曲に救われたのかもしれない。また、研究活動で精神が疲弊した結果家がゴミ屋敷になりましたが、残念ながら家事代行の望月穂波さんはいません。悲しいね　ちなみにKUMAFにも入会しました

大学院時代好きだったアニメ

ぼっち・ざ・ろっく！（2022年秋クール）　もともと原作を知ってて持ってたので流れで見た。

コマの間にある何気なく面白いギャグが映像化された結果超面白くなってたことに感動～！！後藤さんギター上手いのね～！！

原作に対する興味も再燃して何度も何度も読み返しました。読み返すたびに新しい発見があってとても楽しかったです。

アニメは神だった（ちなみに聖地にも行ったよ）

サークル

作問サークルです。Lim_Rim_ 等とともに創設時からいろいろやってました。学部含めて京都での生活の殆どをここ過ごしたためこのサークルに対して思い入れがありすぎる。

2023年においてはいろいろしてましたが、例えばNF杯2023の企画準備をしていたうちの一人が自分です。

研究者の道は諦めるの？

「社会人博士をやりたい！」とはさすがに言えない。修論でここまで疲弊していたので破滅する未来しか見えない。

この先どうなるかはわからないけど、やっぱり数学は楽しいから趣味としてやっていきたいと思う。せっかく楽しい気持ちを思い出せたので忘れずにいたい

これからの当分の目標

地盤を固める　それは

仕事においても

学問においても

趣味においても

日常生活においても

人間関係においても

 

さらに持続可能な社会人生活を目指す

長距離走だと思って程々に（健康を維持できる範囲で）頑張ろうと思います。

競技プログラミングについて

復帰するためにちまちま過去問解いているけど「これが〇〇diffってマジ？インフレしすぎだろ」って無限回思っているので恐ろしいばかりです。今コンテスト出たら無限にレートが下がる気しかしません。むしろ玉砕覚悟で積極的に出たほうがいいのかもしれないとも思いました。

研究内容って何やってたの

M1のはじめからカラザスシュレーブを読みながら論破されることを何回も繰り返す

満身創痍になりながら論文を読む　（指導教員が）なんやかんやすると主結果ができあがる　ごめんなさい僕よりも指導教員のほうが詳しく知ってると思います。

最後に　これから起こることを何も知らない人の図

↑1年後には（なんで自分受かったんだろう？採点ミスかな？）ってずっと思ってるよ

↑スーツに着替えたけど直前で行くのがめんどくなってオンラインにした。なのでクライアントがtwitter Web Appになっている

 

*1:余談 COVID-19の影響でゼミがオンラインになったりならなかったりしていたのですが、その結果人間関係が希薄になって相談できる人がいなくなったというもの原因の一つかもしれません。

*2:脚注：作問サークルでは2022年の部誌や模試に自分も何問か出題していますが、これはほぼ過去のストックの消費でした。2022年においては、重要な作業は他のメンバーがすべてやってくれていました。感謝