注意
ここでは$\mathbb{N}$は0を含まないものとする。
clubhouseとは
招待制のSNS。1ユーザーあたり2人までしか招待できない。2021年2月5日からは招待枠の上限が5人になったらしい。
言葉の定義
根：最初のユーザー
yはxの子：xはyを招待した
yはxの親：xはyに招待された
xのk番目の子：xがk番目に招待したユーザー
定義
ユーザー番号を以下のように定義する。
-
根のユーザー番号は1とする。
- ユーザー番号がnであるようなユーザーの「1番目の子のユーザー番号」を2nと定める。
- ユーザー番号がnであるようなユーザーの「2番目の子のユーザー番号」を2n+1と定める。
ランクを以下のように定める。
- ユーザー番号nのランクは、「nを2進数表記にしたときの桁数」と定める。
ここで、xがyの親であるとき、$\mathrm{rank} (x)+1=\mathrm{rank} (y)$となる。
定理
異なるユーザーで番号がかぶることはない。
証明
ユーザー番号$x$の親のユーザー番号は$\lfloor \frac{x}{2}\rfloor$である。
よって異なるユーザー間で番号が同じならば親のユーザー番号も同じである。
これを繰り返すといずれは根に到達する。根は1人しか存在しないため矛盾である。
以降では「ユーザー$x$」のことを「ユーザー番号が$x$の人」という意味で使用する。
定義
$\mathbb{N}$の部分集合$S$を、$S=\{x|ユーザーxが存在する\}$と定める。
$\mathrm{mex}{S}$の親は、招待枠を使い切っていない人の中で最も番号が若い。 *1
$\mathrm{depth}(S)$を、$\max\{\mathrm{rank}(x)|x\in S\}$と定める。
問題提起
現在の$\mathrm{depth}(S)$はいくらか？
人類77億人が全員ユーザーであって、全員が招待枠をフルに使っているならば、$\mathrm{depth}(S)$は33となる。
しかし現実はそうではなくて、招待枠を使い切っていない人もいるはずだ。全ての招待枠が確率$p(0\lt p\lt 1)$で使用されて、その試行が全て独立ならば、全人類がユーザーになったときのdepthの期待値はいくらになるか？恐らく非自明な結果が出るのは$1/2\lt p\lt 1$のときだろう。
最後に
ここで筆を置くけど、他にも色々な考察のしがいがあるテーマだと思うのでみんな頑張ってくれ（他力本願）
