日本地図を（隣り合う都道府県が違う色になるように）3色で塗り分けることは可能か？

（過去ツイートの再掲です）

四色定理により、地図は四色で塗り分けることができることが保証されている。*1では、日本地図は三色で塗り分けることはできるだろうか？

補足

日本地図を見ると、群馬・栃木・埼玉・茨城あたりの県境が密集していて見にくくなっている。ここらへんを詳細な地図で拡大すると以下のようになっている。

つまり、栃木県と埼玉県は隣接しているが、群馬県と茨城県は隣接していないことに注意。ちなみに「栃木・群馬・埼玉の3県境」と「栃木・茨城・埼玉の3県境」は2km程度しか離れていないらしい。

まあとにかく、「栃木・群馬・埼玉」と「栃木・茨城・埼玉」の3つ組はそれぞれ違う色で塗られることになるため、必然的に群馬と茨城は同じ色となる。

答え

正解は「できない」である。

証明の方法は色々ある。

例えば、岐阜の色を決め打ちしたとする。

すると、岐阜と隣接している富山・石川・福井・滋賀・三重・愛知・長野は岐阜と同じ色が使えないので必然的に残りの2色で塗ることになる。

すると、円環状に並んでいる7県については、残りの色を交互に置かなくてはいけない。

最終的にこうなる。すると（上記の図の場合）長野に使える色はないため、3色で塗り分けることはできないことが示された。

余談

長野県以外の46都道府県については3色で塗り分けることができる。

*1:同じ都道府県を同じ色で塗るという前提のもとだと、飛び地がある場合に塗り分け不能となる可能性がある。ここで、飛び地の形状をうまくいじることで、グラフの彩色数は限りなく大きくさせることが可能である。

n!がpで割り切れる個数

概要

pを素数としたとき、

n!がpで割り切れる個数は

$$v_p(n!)=\dfrac{n-S_p(n)}{p-1}$$

である。ここで、$S_p(n)$とは、$n$を$p$進数表記したときの各桁の総和である。

証明

帰納法でやる。とりあえずルジャンドルの定理は既知とする。

知らない場合は高校数学の美しい物語を見よう

つまり、

$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor\dfrac{n}{p^k}\rfloor$$

任意の整数$n$は、整数$m $と0以上$p$未満の整数$a$を用いて

$$n=mp+a$$

と書くことができる。

このとき、

$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor\dfrac{mp+a}{p^k}\rfloor=m+\sum_{k=2}^{\infty}\lfloor \dfrac{m}{p^{k - 1}}\rfloor=m+v_p(m!)$$

また、$n$を$p$進数表記すると$m $を$p$進数表記したものの末尾に$a$をつけたものとみなせるので

$$S_p(n)=S_p(m)+a$$

となる。

よって、

$$v_p(n!)-\dfrac{n-S_p(n)}{p-1}=m+v_p(m!)-\dfrac{mp+a-S_p(m)-a}{p-1}$$

$$=m+v_p(m!)-\dfrac{m(p-1)+m-S_p(m)}{p-1}$$

$$=m+v_p(m!)-m-\dfrac{m-S_p(m)}{p-1}$$

$$=v_p(m!)-\dfrac{m-S_p(m)}{p-1}$$

また、$m\lt p$のときは$v_p(m!)=0,S_p(m)=m $より等式は成り立つ。

よって帰納法でOK

おまけ

$$v_p(n!)=\dfrac{n-S_p(n)}{p-1}\leq \dfrac{n}{p-1}$$

という評価はありがち

まあこんなことをしなくても、

$$v_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\lfloor\dfrac{n}{p^k}\rfloor\leq \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^k}=\dfrac{n}{p-1}$$

みたいなこともできる。

上で示した式はラグランジュの定理と比較すると誤差がどのくらいなのかが見えやすいという利点がある。

OMCにこの性質を使って解ける問題があったらしい

→　

onlinemathcontest.com

ところで、$v_p(n!)\leq \dfrac{n}{p-1}$という不等式は色々使えて、

$$\log{n!}=\sum_{p\leq n}v_p(n!)\log{p}\leq n\sum_{p\leq n}\dfrac{\log{p}}{p-1}$$

みたいなことができる。あとはいろいろやればなんかできるらしいです。しらんけど

ブランコからジャンプ

シミュレーション

長さ$l$の振り子に質量$m $の質点がくっついている。糸の片方の端を点$(0,l)$に固定した後、物体を$(-l,l)$の地点まで持ち上げる。そこから手を静かに離すと振り子のような動きをする。振り子運動の途中のある時点で糸を切るとそのまま斜方投射するが、最も遠くに着地するのはどこで糸を切ればよいか？ちなみに地面の高さは0とする。

角度$\theta$の地点で手を離す。このときの物体がある座標は$(l\sin{\theta},l(1-\cos{\theta}))$である。このときの物体の速さは力学的エネルギー保存則より

$$\dfrac{1}{2}mv^2+mgl(1-\cos{\theta})=mgl$$

より、

$$v=\sqrt{2gl\cos{\theta}}$$

速度ベクトルの向きは$(\cos{\theta},\sin{\theta})$なので、

角度$\theta$で糸を切るときの物体の速度ベクトルは

$$(\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta},\sqrt{2gl\cos{\theta}}\sin{\theta})$$

糸が切れたときの時刻を0としたときの$t$秒後の物体の位置は

$$(l\sin{\theta}+t\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta},l(1-\cos{\theta})+t\sqrt{2gl\cos{\theta}}\sin{\theta}-\dfrac{1}{2}gt^2)$$

着地するときの時刻は

$$t^2-2t\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta}-\frac{l}{g}(1-\cos{\theta})=0$$

$$t^2-2t\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta}+\frac{2l}{g}\cos{\theta}\sin^2{\theta}-\frac{2l}{g}\cos{\theta}\sin^2{\theta}-\frac{l}{g}(1-\cos{\theta})=0$$

$$(t-\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta})^2=\frac{l}{g}\left(2\cos{\theta}\sin^2{\theta}+1-\cos{\theta}\right)=\frac{l}{g}\left(2\cos{\theta}(1-\cos^2{\theta})+1-\cos{\theta}\right)$$

$$=\frac{l}{g}(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})$$

よって、

$$t=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}\pm \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$

$t\gt 0$なので、

$$t=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$

よって、着地地点の位置は

$$l\sin{\theta}+\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta}\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$

$$=l\sin{\theta}+l\sqrt{2\cos{\theta}}\cos{\theta}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$

$$=l\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\left(2\cos{\theta}\sin{\theta}+ \sqrt{(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})2\cos{\theta}}\right)\right)$$

$$=l\left(\sin{\theta}+2\cos^2{\theta}\sin{\theta}+ \sqrt{(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})2\cos{\theta}}\cos{\theta}\right)$$

答えは$g$に依存しない形になった。これを微分するのはだるいので文明の利器（wolfram alpha）を使う

…としたかったけど、wolfram alphaですら太刀打ちできなかったのでdesmosを使って近似的に求める。

40.685°あたりが最適とわかる。着地地点の位置は糸の長さの約2.281倍である。

まあ地面の高さによって答えが変わるのでこの答えに意味があるかと言われると何も言えねえ

問題文を少し変えるだけで解法が大きく変わる問題（ソートをするために必要なコスト）

以下の2つの問題があります。それぞれどう解くでしょうか？

問題1

$N$を正の整数とする。$0,\ldots,N-1$を並び替えた順列を$a_0,\ldots,a_{N-1}$とする。

このとき、以下の操作を行うことができる

操作：$0\leq i\lt N-1$を一つ選んで、$a_i$と$a_{i+1}$をスワップする

$a_0,\ldots,a_{N-1}$をソートするために必要な操作回数の最小値を求めよ。

制約

$1\leq N\leq 2\times 10^5$

$(a_0,\ldots,a_{N-1})$は順列

問題2

$N$を正の整数とする。$0,\ldots,N-1$を並び替えた順列を$a_0,\ldots,a_{N-1}$とする。

このとき、以下の操作を行うことができる

操作：$0\leq i\lt j\leq N-1$を一つ選んで、$a_i$と$a_j$をスワップする

$a_0,\ldots,a_{N-1}$をソートするために必要な操作回数の最小値を求めよ。

制約

$1\leq N\leq 2\times 10^5$

$(a_0,\ldots,a_{N-1})$は順列

これら2つの問題の相違点は行える操作だけです。それ以外は全て同じ。

ラプラシアンの三次元極座標変換

計算過程

$$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$$

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$$

$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$

$$z=r\cos{\theta}$$

$(0\leq \theta\leq \pi,0\leq \phi\lt 2\pi,0\leq r)$

このとき、

$\dfrac{\partial}{\partial x}=\dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial }{\partial r}+\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\dfrac{\partial }{\partial \phi}+\dfrac{\partial \theta}{\partial x}\dfrac{\partial }{\partial \theta}$

$\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{\partial r}{\partial y}\dfrac{\partial }{\partial r}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\dfrac{\partial }{\partial \phi}+\dfrac{\partial \theta}{\partial y}\dfrac{\partial }{\partial \theta}$

$\dfrac{\partial}{\partial z}=\dfrac{\partial r}{\partial z}\dfrac{\partial }{\partial r}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\dfrac{\partial }{\partial \phi}+\dfrac{\partial \theta}{\partial z}\dfrac{\partial }{\partial \theta}$

ここで、

$\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{x}{r}=\sin{\theta}\cos{\phi}$

$\dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{y}{r}=\sin{\theta}\sin{\phi}$

$\dfrac{\partial r}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{z}{r}=\cos{\theta}$

$\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=\dfrac{1}{-\sin{\phi}}\dfrac{\partial }{\partial x}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{-\sin{\phi}}\dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\dfrac{1}{-\sin{\phi}}\dfrac{r^2\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}}{r^3\sin^3{\theta}}=-\dfrac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}$

$\dfrac{\partial \phi}{\partial y}=\dfrac{1}{-\sin{\phi}}\dfrac{\partial }{\partial y}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{\sin{\phi}}\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\dfrac{r^2\sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}}{r^3 \sin{\phi} \sin^3{\theta}}=\dfrac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}$

$\dfrac{\partial \phi}{\partial z}=\dfrac{1}{-\sin{\phi}}\dfrac{\partial }{\partial z}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$

$\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=\dfrac{1}{-\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{1}{\sin{\theta}}\dfrac{xz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{r^2\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{\phi}}{r^3\sin{\theta}}=\dfrac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}$

$\dfrac{\partial \theta}{\partial y}=\dfrac{1}{-\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{1}{\sin{\theta}}\dfrac{yz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{r^2\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{\phi}}{r^3\sin{\theta}}=\dfrac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}$

$\dfrac{\partial \theta}{\partial z}=\dfrac{1}{-\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial z}\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{-1}{\sin{\theta}}\dfrac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=-\dfrac{r^2\sin^2{\theta}}{r^3\sin{\theta}}=-\dfrac{\sin{\theta}}{r}$

よって、

$\dfrac{\partial }{\partial x}=\sin{\theta}\cos{\phi}\dfrac{\partial}{\partial r}-\dfrac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\dfrac{\partial }{\partial \phi}+\dfrac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

$\dfrac{\partial }{\partial y}=\sin{\theta}\sin{\phi}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\dfrac{\partial }{\partial \phi}+\dfrac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

$\dfrac{\partial }{\partial z}=\cos{\theta}\dfrac{\partial}{\partial r}-\dfrac{\sin{\theta}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

よって、

$$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial x^2}&=\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&=\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\sin{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\sin{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial y^2}&=\sin{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sin{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&=\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r^2}+\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial z^2}&=\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&=\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}-\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\\end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned}\Delta&=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\\&=\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\sin{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\sin{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r^2}+\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}-\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&=\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r^2}+\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\\&+\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)-\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&-\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)+\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)-\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\theta}\sin^2{\phi}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)\\&+\frac{\sin{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&=\frac{\partial^2}{\partial r^2}\\&+\frac{\cos{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\sin{\theta}}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)\\&+\frac{\cos{\theta}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\sin{\theta}}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\right)\\&+\frac{\sin{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)+\frac{\cos{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\&-\frac{\sin{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{\cos{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\&=\frac{\partial^2}{\partial r^2}\\&+\frac{\cos{\theta}}{r}\left[\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}+\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial r}\right]-\frac{\sin{\theta}}{r}\left[-\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}+\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial r}\right]\\&+\frac{\cos{\theta}}{r^2}\left[-\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos{\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right]+\frac{\sin{\theta}}{r^2}\left[\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}+\sin{\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right]\\&-\frac{\sin{\phi}}{r}\left[-\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial}{\partial r}\right]+\frac{\cos{\phi}}{r}\left[\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial}{\partial r}\right]\\&+\frac{\sin{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\left[\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}+\sin{\phi}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]+\frac{\cos{\phi}}{r^2\sin^2{\theta}}\left[-\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}+\cos{\phi}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\\&-\frac{\sin{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\left[-\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}+\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right]+\frac{\cos{\phi}\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\left[\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}+\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right]\\&=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}-\frac{\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\\&=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\\&=\frac{r^2}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2r}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\sin{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{\cos{\theta}}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\\&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\\\end{aligned}$$

初心者向けの罠（ここが本編）

と、ここで

$$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}$$

という式が成り立っている。これは逆関数の微分公式$dx/dy=(dy/dx)^{-1}$を連想すると違和感を感じてしまうが、これは問題ない。

なぜかと言うと、逆関数の微分公式は1変数でしか成り立たないのである。

では、多変数の場合ではどうなるかというと、ヤコビ行列

$$\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\\\end{pmatrix}$$

について、逆変換においてはヤコビ行列が逆行列となる。つまり、

$$\begin{pmatrix}\dfrac{\partial r}{\partial x}&\dfrac{\partial \phi}{\partial x}&\dfrac{\partial \theta}{\partial x}\\\dfrac{\partial r}{\partial y}&\dfrac{\partial \phi}{\partial y}&\dfrac{\partial \theta}{\partial y}\\\dfrac{\partial r}{\partial z}&\dfrac{\partial \phi}{\partial z}&\dfrac{\partial \theta}{\partial z}\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\\\end{pmatrix}$$

となっているのである。これが多変数の場合における逆関数の微分公式に対応する。よって

$$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}$$

については、逆行列の関係の2つの行列において、単にそれぞれの1成分が等しいという状況に過ぎないので、おかしくもなんともないのである。

この罠は筆者がB1の頃に躓いたものなので備忘録として残しておくことにした次第である。

球状コンデンサの静電容量

Let's 計算！

$\varepsilon$は誘電率、$R$は球の半径、電気関係で$R$ときたら電気抵抗に思えてしまうけど、あくまで球の半径である。

これは、どう計算すればいいかと言うと、微小区間で分けると平行板コンデンサが無数に並列につながっていると見なせるので、積分すれば求められるはずである。

球の中心から$r\sim r+dr$だけ離れている部分は、$2\pi rdr$分の面積だけあって、板の間の距離が$2\sqrt{R^2-r^2}$であるような平行板コンデンサであると見なせる。

よって、その微小区間内での平行板コンデンサの静電容量は

$$\dfrac{\varepsilon \pi r }{\sqrt{R^2-r^2}} dr$$

となる。この状況では、平行板コンデンサが並列に無数につながっていると見なせるため、合成された静電容量は総和と等しくなる。

よって、

$$\varepsilon \pi \int_{0}^{R}\dfrac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}dr$$

これは$R^2-r^2=t$みたいな置換をすれば解けて、答えは

$$\varepsilon \pi R$$

となる。

これは、

$$\varepsilon \dfrac{\pi R^2}{R}$$

であるため、結局、半径$R$,高さが$R$の平行板コンデンサと静電容量が同じになる。

あとがき

なんか気になって計算してみたけど、ブログに書くにはあまりにも分量が少なかった。

2022共通テスト数学について語る

前回

shakayami.hatenablog.com

結果

IA　86点

IIB　100点

選択問題はいつもと同じ（IAは整数と確率、IIBはベクトルと数列）

感想

時間たりねー　カス

数値計算多すぎ

IA問1

[1]

特になし　強いて言うなら計算ミスが怖くてビクビクしながら解いた

[2]

【コサシス】本日の数値計算その①　こういうのって小数点以下四捨五入するのかなと疑心暗鬼になった。同様に4を掛けるのか4を割るのか迷って【セ】も不安になった

[3]

【チツテ】で一瞬思考停止しかけた。しかし図を書いたらすぐに分かった

【トナ】これは殺意が高い。まず自明な上界・下界として0≦AB≦7があるが、ここでは、実際にABが最大・最小となるような状況が実現される必要がある。そこで、次の上界下界の候補として、AB≦6,AC≦6より4≦AB≦6が候補に浮かぶ。これは三角形ABCが直角三角形のときに実際に最大・最小を達成するのでこれが答えだと分かる。これが解けないと以降の【ニヌネノハヒ】に響くのがとても厄介である。これはかつてのOD（2013年センター試験IA）を思い出してしまう

また、【トナ】さえ解ければ【ニヌネノハヒ】比較的サービス問題である。そしてこれは何気に図形と二次関数の融合問題となっている。小問の枠の節約かな？

IA問2

[1]

n=3となる状況というのは

・①と②が共通解を持つ

・①と②のどちらかが重解を持つ

のどちらかとなる。前半はそこまで難しくない。

【オ】で、点線と実線を逆に解釈してしまってミスをしてしまった。【カ】は勘違いに勘違いを重ねた結果一周回って正解した。（しょうもない）

(4)について、これは難しい。【キ】はq=5のときに集合が交わらないから③だと推理した。【ク】は、常に包含関係があるのかが分からなかった。かといってわざわざ証明するのも時間がかかってよくない。適当な値で実験して包含関係が保たれていたのと、【キ】と【ク】が同じ答えだとなんか嫌なので①にマークしたら奇跡的に合ってた。

[2]

問題作成者を呪う

【ケコサシス】まだ許せる（【ス】を0にマークしてしまった。-2点）

【セ】ゴミカス

【ソタチ】本日の数値計算その②　計算がとても大変だった

【ツ】呪呪呪呪呪呪呪呪

IA問3

撹拌順列を知ってますか？僕は知ってます。

知らない人は攪乱順列（完全順列）の個数を求める公式 | 高校数学の美しい物語を見よう！

知識ゲーの要素が強いので、知らないとやばいかも。受験期のときに遭遇してたら発狂してたかも

【ソタ】で桁合わねぇな～って思ってたら全員が自分自身のプレゼントを貰っている状況を数え忘れてた。

後半は普通に撹拌順列の公式を知ってたので代入しまくってた

【ナニヌネ】ABCDが他人のを持っている∧交換会が終了しない確率を9/24だと誤解していた（実際は9/120）ので3点減点

IA問4

本日の数値計算その③

統計に時間を食っていたためこの時点で残り10分となっていた。そこにとどめを刺すがごとく重い計算がやってきた

【テトナニヌネノ】は時間が足りず解けなかった。-5点

アディショナルタイムで10分余計にかけて解いたが、一応答えはあっていた。参考記録までに

特に言うことがあるとするならば、電卓くれ　以上

IA問5

選択問題の解かなかったほう

前半　メネラウスの定理があやふやだったので不安だった

【ケ】を2とした結果、【ツナトテ】の桁数が合わなくなって無限時間溶かした。結局4だと気づいたらあとはすんなり行った

【ニヌ】点の位置関係がバグった結果、AD/AGを答えてしまった。カス

IIB問1

[1]　特に言うことなし

[2]　計算間違いしないかヒヤヒヤしてた。特に【チツテ】はかなり慎重に解いた

IIB問2

三次関数の箱入り娘を知ってますか？僕は知ってます。

知らない人は三次関数の対称性と４等分の法則 | 高校数学の美しい物語を見よう！

【ケコ】は、消去法で解いた

[2]　Tの面積で3分の1法則が使えると一瞬勘違いしてしまった。実際は使うことはできない。

IIB問3

選択問題の解かなかったほう

【キ】まではよくある感じの出題だったので特に言うことなし

【ケコ】急に数字埋めろって言われたけてびっくりしたけど、よく考えたら積分すればいいと分かる

桁数が多くて大変だった

IIB問4

www.youtube.com

文章長すぎて草

【コ】を求めるのが大変で面倒だった。

【サシスセ】の計算も大変だった。結局a_n,b_nは指数オーダーで増えていくので【サ】の数字もそこまで大きくなることはないと分かる。

IIB問5

特に言うことなし

強いて言うなら(3)の議論は面白いなと思った。

最後に

電卓ありにさせろ

IAは殺しにかかってきてる

IIBはIAの影に霞んでいて実質空気だが普通に時間ギリギリだった