長さ$l$の振り子に質量$m $の質点がくっついている。糸の片方の端を点$(0,l)$に固定した後、物体を$(-l,l)$の地点まで持ち上げる。そこから手を静かに離すと振り子のような動きをする。振り子運動の途中のある時点で糸を切るとそのまま斜方投射するが、最も遠くに着地するのはどこで糸を切ればよいか？ちなみに地面の高さは0とする。
角度$\theta$の地点で手を離す。このときの物体がある座標は$(l\sin{\theta},l(1-\cos{\theta}))$である。このときの物体の速さは力学的エネルギー保存則より
$$\dfrac{1}{2}mv^2+mgl(1-\cos{\theta})=mgl$$
より、
$$v=\sqrt{2gl\cos{\theta}}$$
速度ベクトルの向きは$(\cos{\theta},\sin{\theta})$なので、
角度$\theta$で糸を切るときの物体の速度ベクトルは
$$(\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta},\sqrt{2gl\cos{\theta}}\sin{\theta})$$
糸が切れたときの時刻を0としたときの$t$秒後の物体の位置は
$$(l\sin{\theta}+t\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta},l(1-\cos{\theta})+t\sqrt{2gl\cos{\theta}}\sin{\theta}-\dfrac{1}{2}gt^2)$$
着地するときの時刻は
$$t^2-2t\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta}-\frac{l}{g}(1-\cos{\theta})=0$$
$$t^2-2t\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta}+\frac{2l}{g}\cos{\theta}\sin^2{\theta}-\frac{2l}{g}\cos{\theta}\sin^2{\theta}-\frac{l}{g}(1-\cos{\theta})=0$$
$$(t-\sqrt{2\frac{l}{g}\cos{\theta}}\sin{\theta})^2=\frac{l}{g}\left(2\cos{\theta}\sin^2{\theta}+1-\cos{\theta}\right)=\frac{l}{g}\left(2\cos{\theta}(1-\cos^2{\theta})+1-\cos{\theta}\right)$$
$$=\frac{l}{g}(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})$$
よって、
$$t=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}\pm \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$
$t\gt 0$なので、
$$t=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$
よって、着地地点の位置は
$$l\sin{\theta}+\sqrt{2gl\cos{\theta}}\cos{\theta}\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$
$$=l\sin{\theta}+l\sqrt{2\cos{\theta}}\cos{\theta}\left(\sqrt{2\cos{\theta}}\sin{\theta}+ \sqrt{1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta}}\right)$$
$$=l\left(\sin{\theta}+\cos{\theta}\left(2\cos{\theta}\sin{\theta}+ \sqrt{(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})2\cos{\theta}}\right)\right)$$
$$=l\left(\sin{\theta}+2\cos^2{\theta}\sin{\theta}+ \sqrt{(1+\cos{\theta}-2\cos^3{\theta})2\cos{\theta}}\cos{\theta}\right)$$
答えは$g$に依存しない形になった。これを微分するのはだるいので文明の利器（wolfram alpha）を使う
…としたかったけど、wolfram alphaですら太刀打ちできなかったのでdesmosを使って近似的に求める。
40.685°あたりが最適とわかる。着地地点の位置は糸の長さの約2.281倍である。
まあ地面の高さによって答えが変わるのでこの答えに意味があるかと言われると何も言えねえ
