†お気持ち表明†したくなったので書く
事前背景
例えば以下のような問題があったとする
$x$が実数のときの$y=x^2-4x$の最小値を求めよ
という問題があったとする。
このとき、最小値は-4である。ところで、この問題は「xがいつのときに最小値を取るか」について問われていない。しかしそのような状況であったとしても。最小値を取るxの値を答案に書くべきか？という問題である。
あ
結論から言うと、もし書くとした場合、「なんのために書くべきか」をきちんと理解するべきである。
問題を抽象化すると以下の通りになる。
$A$を集合として、$f:A→\mathbb{R}$とする。このとき、$x\in A$における$f(x)$の最小値を求めよ
で、これを解くことを考える。そしてその答えが$m $であったとする。
答案というのは証明をするためのものなので、$f(x)$の最小値が$m $であることを示すためには以下の2つを示す必要がある。
- 全ての$x\in A$について$f(x)\geq m $であること
- ある$x_0\in A$が存在して$f(x_0)=m $であること
で、主題である「最小値を与える$x$の値は書くべきか？」についてだ・
「最小値を与える$x$の値を書く」というのは「ある$x_0\in A$が存在して$f(x_0)=m $であること」を示すための手段のうちの一つにすぎないのである。
冒頭の例に戻る
$x\in\mathbb{R}$における$f(x)=x^2-4x$の最小値を求める問題は、以下の2ステップで示すことになる。
1. $x^2-4x=(x-2)^2-4\geq -4$である。つまり任意の$x\in\mathbb{R}$について$f(x)\geq -4$である
2. $f(2)=-4$である。つまり、ある実数$x$が存在して$f(x)=-4$である。
2. についてだが、命題「ある実数$x$が存在して$f(x)=-4$」というのを示すために、そのような条件を満たす$x$を具体的に構成することで示したのである。「ある実数$x$が存在して$f(x)=-4$」という命題が出てきたとき、実際に条件を満たすものをドン！と出してくれば、それは紛れもなく真であることがわかる。
何度も言うが、「最小値を与える$x$の値を書く」というのは、「ある$x_0\in A$が存在して$f(x_0)=m $であること」を示すための手段のうちの一つである。
つまり、最小値を与える$x$の値を書かなかったとしても、実際に最小値を与えるような値が存在すること示すことができればそれでOKなのである。
そんな例あるのかよ？というわけで例題
$x\in\mathbb{R}$における、$f(x)=(e^x-3x)^2$の最小値を求めよ。
以下、最小値が0であることを示す。
1.については、$f(x)$は2乗の形をしているので、明らかに$f(x)\geq 0$が全ての実数$x$で成立することから成り立つ。
2.については、$f(x)=0$となるような実数$x$の存在をいえばOK
ここで、$g(x)=e^x-3x$とする。$f(x)=\{g(x)\}^2$が$x$について恒等的に成り立つことに注意
ここで、$g(x)$は任意の実数$x$で連続であり、$g(0)=1\gt 0,g(1)=e-3\lt 0$である。よって、中間値の定理より$0\lt c\lt 1$を満たして$g(c)=0$となるような実数$c$が存在する。このような$c$は実数であるため定義域に含まれており、さらに$f(c)=0$となる。つまり最小値を満たすような実数が存在することが示せたので、実際に0が最小値であることが示された。（証明終）
という感じで、$f(c)=0$の解が定義域上に存在することさえ示せてしまえば、実際にそのような値がどんな形をしているかは全く気にする必要はないのである。
高校数学においては、中間値の定理は証明されずfactとして与えられており、高校数学においては実際に解がどのように構成されるかということは全く扱わないのである。
このような状況では、最小値を与える$x$の値を書くことはなくなる。
つまり、このような状況においては「最小値を与える$x$の値を書く」以外の方法で「ある$x_0\in A$が存在して$f(x_0)=m $であること」を示せたので、これで問題ないということになる。
最後になるが、「最小値を与える$x$の値を書くべき」というのはあまり本質的ではなく、根底には「実際に最小値を達成するような$x$の値は存在するかどうかを明らかにする」というモチベが存在している。最小値を与える$x$の値を書くというのは、あくまでそのモチベを達成するための手段の一つというわけである。
